विभाज्यता का नियम किसे कहते हैं ?

जिस नियम से यह पता चले कि बिना भाग दिए कोई संख्या दूसरी संख्या से विभाजित हो रही है या नहीं उसे उस नियम को विभाज्यता का नियम कहते है।

2 से विभाज्यता का नियम:-

दी हुई संख्या का इकाई अंक 0,2,4,6 या 8 में से कोई भी एक अंक हो तो वह दी हुई संख्या 2 से विभाजित होगी।

Ex 1:- दी हुई संख्या 1230 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 1230 में इकाई अंक 0 है, इसलिए यह दी हुई संख्या 2 से विभाजित होगी।

Ex 2:- दी हुई संख्या 1532 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 1532 में इकाई अंक 2 है, इसलिए यह दी हुई संख्या 2 से विभाजित होगी।

Ex 3:- दी हुई संख्या 1834 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 1834 में इकाई अंक 4 है, इसलिए यह दी हुई संख्या 2 से विभाजित होगी।

Ex 4:- दी हुई संख्या 1236 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 1236 में इकाई अंक 6 है, इसलिए यह दी हुई संख्या 2 से विभाजित होगी।

Ex 5:- दी हुई संख्या 1138 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 1138 में इकाई अंक 8 है, इसलिए यह दी हुई संख्या 2 से विभाजित होगी।

Note:- जिस संख्या के इकाई अंक 0,2,4,6 या 8 होता है, वह दी हुई संख्या 2 से विभाजित होगी।

3 से विभाज्यता का नियम:-

दी हुई संख्याओं के अंको का योग अगर 3 से विभाजित हो जाति है, तो वह दी हुई संख्या 3 से विभाजित होगी।

Ex 1:- दी हुई संख्या 282 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 282 में अंको का योग 2+8+2 = 12 आता है जो की 3 से विभाजित है, इसलिए यह दी हुई संख्या 3 से विभाजित होगी।

Ex 5:- दी हुई संख्या 3282 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 3282 में अंको का योग 3+2+8+2 = 15 आता है जो की 3 से विभाजित है, इसलिए यह दी हुई संख्या 3 से विभाजित होगी।

Ex 3:- दी हुई संख्या 3864 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 3864 में अंको का योग 3+8+6+4 = 21 आता है जो की 3 से विभाजित है, इसलिए यह दी हुई संख्या 3 से विभाजित होगी।

Ex 4:- दी हुई संख्या 8573621 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 8573621 में अंको का योग 8+5+7+3+6+2+1 = 32 आता है जो की 3 से विभाजित है, इसलिए यह दी हुई संख्या 3 से विभाजित होगी।

Ex 5:- दी हुई संख्या 685794312 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 685794312 में अंको का योग 6+8+5+7+9+4+3+1+2 = 45 आता है जो की 3 से विभाजित है, इसलिए यह दी हुई संख्या 3 से विभाजित होगी।

4 से विभाज्यता का नियम:-

दी हुई संख्याओं के अंतिम दो अंक अगर 4 से विभाजित हो जाति है या अंतिम दो अंक शून्य (0) हो तो वह दी हुई संख्या 4 से विभाजित होगी।

Ex 1:- दी हुई संख्या 284 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 284 के अंतिम दो अंक 84 है, जो की 4 से विभाजित है, इसलिए यह दी हुई संख्या 4 से विभाजित होगी।

Ex 2:- दी हुई संख्या 325212 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 325212 के अंतिम दो अंक 12 है, जो की 4 से विभाजित है, इसलिए यह दी हुई संख्या 4 से विभाजित होगी।

Ex 3:- दी हुई संख्या 3858698500 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 3858698500 के अंतिम दो अंक 00 है, इसलिए यह दी हुई संख्या 4 से विभाजित होगी।

Ex 4:- दी हुई संख्या 85736 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 85736 के अंतिम दो अंक 36 है, इसलिए यह दी हुई संख्या 4 से विभाजित होगी।

Ex 5:- दी हुई संख्या 685000 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 685000 के अंतिम दो अंक 00 है, इसलिए यह दी हुई संख्या 4 से विभाजित होगी।

5 से विभाज्यता का नियम:-

दी हुई संख्याओं के अंतिम अंक (इकाई अंक) अगर 0 या 5 हो, तो वह दी हुई संख्या 5 से विभाजित होगी।

Ex 1:- दी हुई संख्या 280 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 280 के अंक 0 है, इसलिए यह दी हुई संख्या 5 से विभाजित होगी।

Ex 2:- दी हुई संख्या 325215 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 325215 के अंतिम अंक 5 है, इसलिए यह दी हुई संख्या 5 से विभाजित होगी।

Ex 3:- दी हुई संख्या 3858698500 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 3858698500 के अंतिम अंक 0 है, इसलिए यह दी हुई संख्या 5 से विभाजित होगी।

Ex 4:- दी हुई संख्या 85736 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 85735 के अंतिम अंक 5 है, इसलिए यह दी हुई संख्या 5 से विभाजित होगी।

Ex 5:- दी हुई संख्या 685000 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 685000 के अंतिम अंक 0 है, इसलिए यह दी हुई संख्या 5 से विभाजित होगी।

6 से विभाज्यता का नियम:-

दी हुई संख्याओं अगर 2 और 3 दोनों से विभाजित हो जाति है, तो वह दी हुई संख्या 6 से विभाजित होगी।

Ex 1:- दी हुई संख्या 480 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 280 है, जो की 2 और 3 दोनों से विभाजित हो जाति है, इसलिए यह दी हुई संख्या 6 से विभाजित होगी।

Ex 2:- दी हुई संख्या 3236 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 3236 है, जो की 2 से विभाजित है लेकिन 3 से विभाजित नहीं है, इसलिए यह दी हुई संख्या 6 से विभाजित नहीं होगी।

Ex 3:- दी हुई संख्या 843327 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 843327 है, जो की 3 से विभाजित है लेकिन 2 से विभाजित नहीं है, इसलिए यह दी हुई संख्या 6 से विभाजित नहीं होगी।

Ex 4:- दी हुई संख्या 936 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 936 है, जो की 2 और 3 दोनों से विभाजित हो जाति है, इसलिए यह दी हुई संख्या 6 से विभाजित होगी।

Ex 5:- दी हुई संख्या 6208 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 6208 है, जो की 2 से विभाजित है लेकिन 3 से विभाजित नहीं है, इसलिए यह दी हुई संख्या 6 से विभाजित नहीं होगी।

7 से विभाज्यता का नियम:-

दो अंको की संख्याओं के लिए:- दी हुई संख्याओं में दहाई अंक के तीन गुणा करके उसमे इकाई अंक को जोड़ने पर प्राप्त संख्या 7 से विभाजित हो जाति है, तो वह दी हुई संख्या 7 से विभाजित होगी।

Ex 1:- दी हुई संख्या 49 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 49 है, इसमें दहाई अंक का तीन गुना 4 X 3=12, तथा इसमें इकाई 9 को जोड़ने पर प्राप्त संख्या 21 आता है जो के 7 से विभाजित हो जाति है, इसलिए यह दी हुई संख्या 7 से विभाजित होगी।

49 में इकाई अंक = 9, दहाई अंक = 4
49 = 4 X 3 + 9 = 21 जो के 7 से विभाजित हो जाति है, इसलिए यह दी हुई संख्या 7 से विभाजित होगी।

दो अंको से बड़ी सभी संख्याओं के लिए:- दी हुई संख्याओं में अंतिम दो अंको को छोड़कर शेष अंको को 2 से गुना करके तथा अंतिम दो अंको को जोड़कर न्ये प्राप्त संख्या 7 से विभाजित हो जाति है, तो वह दी हुई संख्या 7 से विभाजित होगी।

Ex 1:- दी हुई संख्या 336 है।
336 में अंतिम दो अंक = 36, शेष अंक = 3
3 X 2 + 36 = न्ये प्राप्त संख्या 42 है, जो की 7 से विभाजित हो जाति है, इसलिए यह दी हुई संख्या 7 से विभाजित होगी।

पुनरावृति संख्याओं के लिए:- यदि कोई एक ही संख्या को 6 बार पुनरावृति से बनी संख्या हो, तो वह दी हुई संख्या 7 से विभाजित होगी।

Ex 1:- दी हुई संख्या 111111 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 111111 है, जो की 1 को ही 6 बार पुनरावृति करके बनाया गया है, इसलिए यह दी हुई संख्या 7 से विभाजित होगी।

Ex 1:- दी हुई संख्या 444444 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 444444 है, जो की 4 को ही 6 बार पुनरावृति करके बनाया गया है, इसलिए यह दी हुई संख्या 7 से विभाजित होगी।

8 से विभाज्यता का नियम:-

दी हुई संख्याओं के अंतिम तीन अंक अगर 8 से विभाजित हो, तो वह दी हुई संख्या 8 से विभाजित होगी।

Ex 1:- दी हुई संख्या 12320 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 12320 के अंतिम तीन अंक 320 है, जो की 8 से विभाजित है, इसलिए यह दी हुई संख्या 8 से विभाजित होगी।

Ex 2:- दी हुई संख्या 369864 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 369864 के अंतिम तीन अंक 864 है, जो की 8 से विभाजित है, इसलिए यह दी हुई संख्या 8 से विभाजित होगी।

Ex 3:- दी हुई संख्या 856512 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 856512 के अंतिम तीन अंक 512 है, जो की 8 से विभाजित है, इसलिए यह दी हुई संख्या 8 से विभाजित होगी।

9 से विभाज्यता का नियम:-

दी हुई संख्याओं के अंको का योग अगर 9 से विभाजित हो जाति है, तो वह दी हुई संख्या 9 से विभाजित होगी।

Ex 1:- दी हुई संख्या 2826 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 2826 में अंको का योग 2+8+2+6 = 18 आता है जो की 9 से विभाजित है, इसलिए यह दी हुई संख्या 9 से विभाजित होगी।

Ex 2:- दी हुई संख्या 3282 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 3282 में अंको का योग 3+2+8+2 = 15 आता है जो की 9 से विभाजित नहीं है, इसलिए यह दी हुई संख्या 9 से विभाजित नहीं होगी।

Ex 3:- दी हुई संख्या 3864 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 38646 में अंको का योग 3+8+6+4+6 = 27 आता है जो की 9 से विभाजित है, इसलिए यह दी हुई संख्या 9 से विभाजित होगी।

10 से विभाज्यता का नियम:-

दी हुई संख्याओं के अंतिम अंक (इकाई अंक) अगर 0, तो वह दी हुई संख्या 10 से विभाजित होगी।

Ex 1:- दी हुई संख्या 280 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 280 के अंतिम अंक (इकाई अंक) 0 है, इसलिए यह दी हुई संख्या 10 से विभाजित होगी।

Ex 2:- दी हुई संख्या 152680 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 152680 के अंतिम अंक (इकाई अंक) 0 है, इसलिए यह दी हुई संख्या 10 से विभाजित होगी।

Ex 3:- दी हुई संख्या 2856890 है।
Solⁿ:- दी हुई संख्या 2856890 के अंतिम अंक (इकाई अंक) 0 है, इसलिए यह दी हुई संख्या 10 से विभाजित होगी।

11 से विभाज्यता का नियम:-

दी हुई संख्याओं के सम स्थान पर वाले अंको का योग एवं विषम स्थान पर वाले अंको के योग का अंतर 0 हो या 11 से विभाजित हो, तो वह दी हुई संख्या 11 से विभाजित होगी।

Ex 1:- दी हुई संख्या 5421372 है।
Solⁿ:-
सम स्थान पर वाले अंको का योग = 4+1+7 = 12
विसम स्थान पर वाले अंको का योग = 5+2+3+2 = 12
दोनों का अंतर = 12 - 12 = 0
अतः दोनों का अंतर = 0 है, इसलिए यह दी हुई संख्या 11 से विभाजित होगी।

Ex 2:- दी हुई संख्या 8461574 है।
Solⁿ:-
सम स्थान पर वाले अंको का योग = 4+1+7 = 12
विसम स्थान पर वाले अंको का योग = 8+6+5+4 = 23
दोनों का अंतर = 23 - 12 = 11
अतः दोनों का अंतर = 11 है जो की 11 से विभाजित है, इसलिए यह दी हुई संख्या 11 से विभाजित होगी।